ルート2が無理数の証明、ルート4が無理数の証明!?(前編)

どうも、ぺてです。今日は久々に数学らしき記事を書いていきます。
今回は証明問題について書いていこうと思います。

高校1年の数学では「\(\sqrt{2}\)が無理数であること」を証明します。
背理法を使う証明として、必ず教科書に載っています。

「\(\sqrt{2}\)が無理数であること」の証明

\(\sqrt{2}\)が有理数であると仮定する。
このとき、互いに素な正の整数\(p,q\)を用いて\(\sqrt{2}=\dfrac{q}{p}\)と既約分数であらわすことができる。

両辺を二乗して\(p^2\)をかけると、\(2p^2=q^2\)
左辺は\(2\)の倍数なので\(q^2\)は\(2\)の倍数である。よって、\(q\)は\(2\)の倍数である。
すると、\(q^2\)は\(4\)の倍数になるので、\(p^2\)が\(2\)の倍数となる。よって、\(p\)も\(2\)の倍数である。
\(p\)も\(q\)も\(2\)の倍数なので、\(p\)と\(q\)が互いに素であることに矛盾する。
ゆえに、背理法によって\(\sqrt{2}\)は無理数である。

高校1年生のよくわからん証明問題ですね。テストを乗り切るために丸暗記した人も多いのではないでしょうか。正直な所、丸暗記してしまってもいいと思います。これを、自力で思いつくのは難しいと思います。

国語の古典でやった「今は昔竹取の翁といふ者ありけり。・・・」や「春はあけぼの。やうやう白く・・・」のようは暗記させられましたよね。(学校によって違うと思いますが)
「\(\sqrt{2}\)が無理数であること」の証明も同じようなものと思います。何度も言いますが、暗記しちゃっていいものだと思います。

さて、今日の本題はここからになります。この証明の\(2\)の部分を\(4\)にすると、あたかも\(\sqrt{4}\)が無理数であることが証明できてしまいます。

「\(\sqrt{4}\)が無理数であること」の証明?

\(\sqrt{4}\)が有理数であると仮定する。
このとき、互いに素な正の整数\(p,q\)を用いて\(\sqrt{4}=\dfrac{q}{p}\)と既約分数であらわすことができる。

両辺を二乗して\(p^2\)をかけると、\(4p^2=q^2\)
左辺は\(4\)の倍数なので\(q^2\)は\(4\)の倍数である。よって、\(q\)は\(4\)の倍数である。
すると、\(q^2\)は\(16\)の倍数になるので、\(p^2\)が\(4\)の倍数となる。よって、\(p\)も\(4\)の倍数である。
\(p\)も\(q\)も\(4\)の倍数なので、\(p\)と\(q\)が互いに素であることに矛盾する。
ゆえに、背理法によって\(\sqrt{4}\)は無理数である。

御存知の通り、
$$\sqrt{4}=2$$
であるので、この証明は間違っているのですが、ぱっと見るとどこが間違ってるかわかりにくいと思います。

さて、どこが間違っているのでしょうか
数学に自信がある人は考えてみてください。

解答、解説は次の記事で

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