「8×3」と「3×8」は違う? 掛け算の順番の話

どうも、ぺてです。

今日は時々話題になる掛け算の順番について話をしていこうかなと思います。

まずは問題文

\(8\)個の梅がのったザルが\(3\)つあります。梅は全部で何個あるでしょう。

小学校2年生で九九を習った後の練習問題として出そうな問題ですね。

答えは

(式)

$$ 8\times3 = 24 $$

(答)

\(24\)個

ですね。

式を「\(3\times8\)」にすると間違い?

最近の学校教育で時々話題になるのが、(式)を「\(3\times8\)」、(答)を「\(24\)個」かくと間違いにする先生がいるとかどうとか

これは一体どういうことなのかすこし解説していこうかなと思います。

 どっちでもいいじゃないかという考え方

\(3\)も\(8\)も同じ数だと思えば掛け算の交換法則により\(8\times3 = 3\times8\)としてどちらも同じじゃないかと考えることができます。

この「どっちでもいい」という考え方は\(3\)と\(8\)を両方とも対等な「数」として考えているというところにあります。

大学数学では「(可換)」という概念がこの考え方に近いかなと思います。

逆にしてはいけないという考え方

\(3\)と\(8\)を違うものとして考えると交換してはいけないと考えることができます。

(例えば、引き算や割り算は順番が大切になります。掛け算も順番が大切と考える考え方に近いかなと思います。)

小学校で最初に掛け算を学ぶときは、単位に注目して順番を決めます。

\(8\)(の梅)\(\times\)\(3\)つ(のかご)\(=8+8+8=24\)(の梅)

のように最初の数字(掛けられる数)の単位が答えの単位と同じになるように掛け算の順番を決めます。

大学数学では「(右)加群」という概念がこの考え方に近いかなと思います。

ではどっちが正しいの?

私は正直なところ、どっちでもいいと思います。

というのも、小学校で学ぶ算数の「掛け算」は最初学んだときは順番を大切にして考えるのに、気付いたら「逆にしてもいいよ」という考えに変わっているので、どちらが正解でどちらが間違えと言えないのです。

大切なのは、(式)の「\(3\times8\)」をバツにした時に、児童にしっかりと理由を説明できるかどうかだと思います。

小学校高学年で学ぶ「割合」の単元では、掛け算の順番についてしっかり理解している方が「割合」の理解がすこし楽になるのかなとも思いますが、そのへんは各々の小学校の先生次第なのかなと思ったりします。

まとめ

ということで、掛け算の順番についてわかりにくかったかもしれませんが、記事にしてみました。

上にも書いたのですが、最初は順番を大切にしていたのに、いつの間にか「順番なんかどうでもいいよ」という考えになるのがややこしく変な感じがします。

まぁ、数学という学問の性質上、厳密にやるとややこしく、教育現場に混乱を生じるので仕方ないとは思うのですが、、、うーん

正直なところ、一番の問題は、数学をまともに学んだことのない小学校の先生が、闇雲に「\(3\times8\)」をバツにして、まともに説明をせずに、児童に押し付けることなのかなと思います。

こうやって、算数が嫌い、苦手な児童ができていくのかなとか個人的に思ったりもします。

さて、皆さんは掛け算の順番についてどう思いますか?

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コメント

  1. ゴルゴ・サーディーン より:

    >大切なのは、(式)の「3×8」をバツにした時に、児童にしっかりと理由を説明できるかどうかだと思います。

    とんでも無い。
    たとえ丁寧に説明しても、そんな説明は間違いですから、バツにする事自体が間違いです。

  2. ゴルゴ・サーディーン より:

    >「割合」の単元では、掛け算の順番についてしっかり理解している方が「割合」の理解がすこし楽になるのかな

    という点ですが、割合の単元で「未知数を求めるには複数のアプローチがある」と教える中で
    掛算の順序に違反している例がしばしば見られます。

  3. セルゲイ より:

    >大学数学では「(右)加群」という概念がこの考え方に近いかなと思います。

    http://www.avis.ne.jp/~uriuri/kaz/profile/Itohetal1993.pdf

    掛け算を右加群としての作用としても、左加群としての作用と同じになるため
    「逆にしてはいけない」は成り立たないのでは?

  4. sg より:

    ○○○○○○○○
    ○○○○○○○○
    ○○○○○○○○
    三色団子8串は「赤い団子8個、白い団子8個、緑の団子8個」の8個×3であると同時に「1串目の団子3個、2串目の団子3個、…、8串目の団子3個」の3個×8でもあるわけで。長方形の縦横と同じく、視点の違いでしかないんですよね。これは籠の梅でも変わりません。

    そもそも、単位が答えの単位と同じになるように掛け算の順番を決めるというのは明らかに間違った行いです。順序でテストにバツを付けられないための小手先のテクニックにすぎません。縦の長さと横の長さで長方形の面積と単位が同じなのは、電流と抵抗で電圧と単位が同じなのは、一体どちらでしょうか。

  5. ツァラトゥストラはかく語りき より:

    とりあえず右加群としての構造だけを考えているという状況だと
    「逆にしてはいけない」というのは「逆側から作用させる場合を考えていない」
    ということだとおもいます